题目内容
【题目】已知设函数.
(1)若,求
极值;
(2)证明:当,
时,函数
在
上存在零点.
【答案】(1)取得极大值0,无极小值(2)见证明
【解析】
(1)通过求导得到,求出
的根,列表求出
的单调区间和极值.
(2)对进行分类,当
时,通过对
求导,得到
在
单调递减,找到其零点,进而得到
的单调性,找到
,
,可证
在
上存在零点.
当时,根据(1)得到的结论,对
进行放缩,得到
,再由
,可证
在
上存在零点.
(1)当时,
,定义域为
,由
得
.
当变化时,
,
的变化情况如下表:
极大值 |
故当时,
取得极大值
,无极小值.
(2),
.
当时,因为
,所以
,
在
单调递减.
因为,
,
所以有且仅有一个,使
,
当时,
,当
时,
,
所以在
单调递增,在
单调递减.
所以,而
,
所以在
存在零点.
当时,由(1)得
,
于是,所以
.
所以.
于是.
因为,所以所以
在
存在零点.
综上,当,
时,函数
在
上存在零点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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A.B.
C.
D.