题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当函数与函数
图象的公切线l经过坐标原点时,求实数a的取值集合;
(3)证明:当时,函数
有两个零点
,
,且满足
.
【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为
;(2)
;(3)见解析
【解析】
(1)利用导数求解单调性;(2)先求出公切线的方程,再探讨
的取值范围;(3)先利用导数研究函数
的单调性,证明零点个数.再使用函数思想,构造函数,利用导数研究函数单调性解决不等式问题.
(1)对求导,得
,
令,解得
,
当时,
,
单调递增.
当,
时,
,
单调递减.
(2)设公切线与函数
的切点为
,
,则公切线
的斜率
,
公切线的方程为:
,将原点坐标
代入,得
,解得
.
公切线的方程为:
,将它与
联立,整理得
.
令,对之求导得:
,令
,解得
.
当时,
,
单调递减,值域为
,
当时,
,
单调递增,值域为
,
由于直线与函数
相切,即只有一个公共点,因此.
故实数的取值集合为
.
(3)证明:,要证
有两个零点,只要证
有两个零点即可.
(1)
,
即时函数
的一个零点.
对求导得:
,令
,解得
.当
时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减.当
时,
取最小值,
,
,必定存
在使得二次函数
,
即.因此在区间上
必定存在
的一个零点.
综上所述,有两个零点,一个是
,另一个在区间
上.
下面证明.
由上面步骤知有两个零点,一个是
,另一个在区间
上.
不妨设,
则
,下面证明
即可.
令,对之求导得
,
故(a)在定义域内单调递减,
,即
.
证明完毕.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示,该地周光照量(小时)都在30小时以上,其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量
(百斤)与使用某种液体肥料
(千克)之间对应数据为如图所示的折线图.
(1)依据数据的折线图,是否可用线性回归模型拟合与
的关系?请计算相关系数
并加以说明(精确到0.01).(若
,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制,并有如下关系:
周光照量 | |||
光照控制仪最多可运行台数 | 3 | 2 | 1 |
若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪,求商家在过去50周周总利润的平均值.
附:相关系数公式,参考数据
,
.