题目内容
【题目】已知在四棱锥中,
,
,
是
的中点,
是等边三角形,平面
平面
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)取的中点为
,连结
,
,
,设
交
于
,连结
.证明
,
,即可证
平面
;(2)取
的中点为
,以
为空间坐标原点,分别以
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
.设
,利用向量法求二面角
的余弦值.
(1)证明:取的中点为
,连结
,
,
,设
交
于
,连结
.
因为,
,
四边形与四边形
均为菱形,
,
,
,
因为为等边三角形,
为
中点,
,
因为平面平面
,且平面
平面
.
平面
且
,
平面
因为平面
,
,
因为H,分别为
,
的中点,
,
.
又因为 ,
平面
,
平面
.
(2)取的中点为
,以
为空间坐标原点,分别以
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
.
设,则
,
,
,
,
,
,
设平面的一法向量
.
由
.令
,则
.
由(1)可知,平面的一个法向量
,
二面角
的平面角的余弦值为
.
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