题目内容
【题目】已知椭圆
过点
，且离心率为
.直线
与
轴正半轴和
轴分别交于点
、
，与椭圆分别交于点
、
，各点均不重合且满足
，
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
，试证明:直线过定点并求此定点.
【答案】（1）
；（2）证明见解析，
.
【解析】
（1）设椭圆方程为
，根据题意列出方程，求得
的值，即可得到椭圆的方程；
（2）设
方程为
，利用向量的坐标运算，求得
，
，得到
，联立方程组，结合根与系数的关系，代入求得直线的方程，即可得出结论.
（1）设椭圆方程为，
由题意知
，且离心率
，解得
，
所以椭圆的方程为.
（2）设
，
，
，
，
设方程为，
由
，得
，
所以
，由题意知
，所以，
同理由
，可得，
，
联立
，整理得
，
则
，且有
，
，
代入，得
，解得
，
由
，所以
，可得的方程为
，
此时直线过定点，即
为定点.
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