题目内容
【题目】已知椭圆过点
,且离心率为
.直线
与
轴正半轴和
轴分别交于点
、
,与椭圆分别交于点
、
,各点均不重合且满足
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,试证明:直线
过定点并求此定点.
【答案】(1);(2)证明见解析,
.
【解析】
(1)设椭圆方程为,根据题意列出方程,求得
的值,即可得到椭圆的方程;
(2)设方程为
,利用向量的坐标运算,求得
,
,得到
,联立方程组,结合根与系数的关系,代入求得直线
的方程,即可得出结论.
(1)设椭圆方程为,
由题意知,且离心率
,解得
,
所以椭圆的方程为.
(2)设,
,
,
,
设方程为
,
由,得
,
所以,由题意知
,所以
,
同理由,可得
,
,
联立,整理得
,
则,且有
,
,
代入,得
,解得
,
由,所以
,可得
的方程为
,
此时直线过定点,即
为定点.
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