题目内容
（本小题满分13分）
对于各项均为整数的数列
，如果
(
=1，2，3，…)为完全平方数，则称数
列具有“
性质”。
不论数列是否
具有“性质”，如果存在与不是同一数列的
，且同
时满足下面两个条件：①
是
的一个排列
；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”。
（I）设数列的前
项和
，证明数列具有“性质”；
（II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；
（III）对于有限项数列
：1，2，3，…，，某人已经验证当
时，
数列具有“变换性质”，试证明：当”
时，数
列也具有“变换性质”。
对于各项均为整数的数列
，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列
具有“性质”。不论数列
是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：①
是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”。（I）设数列
的前项和，证明数列具有“性质”；（II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换
性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；（III）对于有限项数列
：1，2，3，…，，某人已经验证当时，数列
具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”。（I）证明见解析。
（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，
数列
为3，2，1，5，4。
数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”
因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数
所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”
（III）证明见解析。
（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，
数列
为3，2，1，5，4。数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”
因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数
所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”
（III）证明见解析。
（I）当
时，
…………1分
…………2分
又
。 …………3分
所以
是完全平方数，
数列
具有“P性质” …………4分
（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”， …………5分
数列为3，2，1，5，4 …………6分
数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质” …………7分
因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数
所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质” …………8分
（III）设
注意到
令
由于
，
所以
又
所以
即
…………10分
因为当
时，数列具有“变换P性质”
所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成
使得
都是平方数 …………11分
另外，
可以按相反顺序排列，
即排列为
使得
…………12分
所以1，2，
可以排列成
满足
都是平方数.
即当
时，数列A也具有“变换P性质”…………13分
时， …………1分 …………2分又
。 …………3分所以
是完全平方数，数列
具有“P性质” …………4分（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”， …………5分
数列
为3，2，1，5，4 …………6分数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质” …………7分
因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数
所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质” …………8分
（III）设
注意到
令
由于
，所以
又
所以
即
…………10分因为当
时，数列具有“变换P性质”所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成
使得
都是平方数 …………11分另外，
可以按相反顺序排列，即排列为
使得
…………12分所以1，2，
可以排列成满足
都是平方数.即当
时，数列A也具有“变换P性质”…………13分
练习册系列答案
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，数列
满足
，
，数列
满足
，
．
为等比数列．
，求证：
；
满足
且
；
的大小；
，对一切
恒成立？若存在，则求出c的取值范围；若不存在，说明理由．
求证：
成等差数列。
求
的关系式及通项公式
其中
的通项公式；
的各项均为正数，
，前
项和为
，
为等比数列, 
，且
．
与
；
的前
。
对任意正整数
恒成立，求实数
的取值范围．
，且数列
满足
= 1，
(n∈N，
)；求数列
的通项公式．
、
的前n项和分别为
和
，且
，
， 
；求常数A的值及
，其中
、
即为(1)、(2)中的数列
项，试求
是公差为
的等差数列，其前
项和为
，并有
＝
＋
；那么，对于公比为
的等比数列
，则
，
，