题目内容
【题目】如图，已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B，C在该抛物线上，其中A，C关于x轴对称（A在第一象限），且直线BC经过点F． 
（1）若△ABC的重心为G（ 
），求直线AB的方程；
（2）设S△ABO=S1 ， S△CFO=S2 ， 其中O为坐标原点，求S12+S22的最小值．
【答案】
（1）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），
则△ABC的重心坐标为G（ 
， 
），
由题意可得2x1+x2= 
，且y2=4，
由y22=4x2，y12=4x1，
可得x2=4，y2=4，和x1= 
，y1=1，
直线AB的斜率k= 
= 
，
即有直线AB的方程为4x﹣5y+4=0；
（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），
设直线BC：x=my+1，代入抛物线方程y2=4x，可得
y2﹣4my﹣4=0，可得﹣y1y2=﹣4，即y1y2=4，
再设直线AB：y=kx+n，代入抛物线方程，可得
ky2﹣4y+4n=0，y1y2= 
=4，即n=k，
则有直线AB：y=k（x+1），即有直线AB恒过定点E（﹣1，0），
则S△ABO= 
|OE||y2﹣y1|= |y2﹣y1|，
S△CFO= |OF||y1|= |y1|，
即有S12+S22= （y2﹣y1）2+ y12= 
= （2y12+ 
﹣8）
≥ （2 
﹣8）=2 
﹣2．
即有S12+S22的最小值为2 
，y2= 
【解析】（1）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x1 ， ﹣y1），运用三角形的重心坐标公式和抛物线方程，即可求得A，B的坐标，进而得到直线方程；（2）通过直线BC，AB的方程和抛物线方程，运用韦达定理，可得恒过定点（﹣1，0），即有S△ABO= |OE||y2﹣y1|= |y2﹣y1|，S△CFO= |OF||y1|= |y1|，y1y2=4，再由基本不等式计算即可得到最小值．
