Question

【题目】已知二次函数满足，且．

（）求的解析式．

（）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围．

（）若关于的方程有区间上有唯一实数根，求实数的取值范围（相等的实数根算一个）．

Answer 1

【答案】（1）.

(2).

(3).

【解析】试题分析：（1）只要设，代入已知条件即可求得；（2）由（1）知是二次函数，其单调性与对称轴有关，题意说明其对称轴不在区间上；（3）关于的方程是二次方程，它在区间上有唯一实数根，可能是在上是两个相等的实根，也可能是一根在此区间上，另一根在此区间外（注意区间端点的讨论）．

试题解析：（1）设，代入，

得，对于恒成立，故，

又由，得，解得，

∴．

（2）因为 ，

又函数在上是单调函数，故或，

截得或．

故实数的取值范围是．

（3）由方程得，

令，，

即要求函数在上有唯一的零点，

①，则，代入原方程得或3，不合题意；

②若，则，代入原方程得或2，满足提议，故成立；

③若△，则，代入原方程得，满足提议，故成立；

④若且且时，由得．

综上，实数的取值范围是．