题目内容
【题目】设函数.
(1)当时,函数
与
在
处的切线互相垂直,求
的值;
(2)若函数在定义域内不单调,求
的取值范围;
(3)是否存在正实数,使得
对任意正实数
恒成立?若存在,求出满足条件的实数
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)本小题主要利用导数的几何意义,求出切线斜率;当时,
,可知
在
处的切线斜率
,同理可求得
,然后再根据函数
与
在
处的切线互相垂直,得
,即可求出结果.
(2)易知函数的定义域为
,可得
,由题意,
在
内有至少一个实根且曲线与x不相切,即
的最小值为负,由此可得
,进而得到
,由此即可求出结果. (3)令
,可得
,令
,则
,所以
在区间
内单调递减,且
在区间
内必存在实根,不妨设
,可得
,(*),则
在区间
内单调递增,在区间
内单调递减,
∴,
,将(*)式代入上式,得
.使得
对任意正实数
恒成立,即要求
恒成立,然后再根据基本不等式的性质,即可求出结果.
试题解析:
(1)当时,
,
∴在
处的切线斜率
,
由,得
,∴
,∴
.
(2)易知函数的定义域为
,
又,
由题意,得的最小值为负,
∴.(注:结合函数
图象同样可以得到),
∴
∴,∴
;
(3)令,其中
,
则,
则,
则,
∴在区间
内单调递减,且
在区间
内必存在实根,不妨设
,
即,可得
,(*)
则在区间
内单调递增,在区间
内单调递减,
∴,
,
将(*)式代入上式,得.
根据题意恒成立,
又∵,当且仅当
时,取等号,
∴,
∴,代入(*)式,得
,
即,又
,
∴,∴存在满足条件的实数
,且
.
点睛:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离,将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,然后再构造辅助函数,利用
恒成立
;
恒成立
,即可求出参数范围.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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