Question

1．f（x）=|x²-a|+$\frac{a}{{x}^{2}}$对一切x≠0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析 分x²≥a和x²＜a去绝对值，由不等式f（x）≥1恒成立，令t=x²（t＞0）换元后转化为二次不等式恒成立问题，然后运用三个二次的结合化为关于a的不等式组求解a的取值范围．

解答 解：若x²≥a，则f（x）=|x²-a|+$\frac{a}{{x}^{2}}$=${x}^{2}-a+\frac{a}{{x}^{2}}$，
由不等式f（x）≥1恒成立，得${x}^{2}-a+\frac{a}{{x}^{2}}≥1$恒成立，
即x⁴-（a+1）x²+a≥0恒成立．
令t=x²（t＞0），
则t²-（a+1）t+a≥0（t＞0）恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}≥0}\\{（a+1）^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}＜0}\\{a≥0}\end{array}\right.$②，
解①得：a=1，解②得a∈∅．
又a≤x²=t，∴a≤0．
故a∈∅；
若x²＜a，则f（x）=|x²-a|+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$a-{x}^{2}+\frac{a}{{x}^{2}}$，
由不等式f（x）≥1恒成立，得$a-{x}^{2}+\frac{a}{{x}^{2}}$≥1恒成立，
即x⁴-（a-1）x²+a≤0恒成立．
令t=x²（t＞0），
则t²-（a-1）t+a≤0（t＞0）恒成立．
此时显然不成立．
综上，使f（x）=|x²-a|+$\frac{a}{{x}^{2}}$，对一切x≠0，不等式f（x）≥1恒成立的实数不存在．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用“三个二次结合”求解二次函数根的分布问题，是中高档题．