Question

在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点的直线与曲线相交于不同的两点， 点在线段的垂直平分线上，且，求的值

Answer 1

设，则由题意知，又点在圆上，将代入圆的方程整理得：，即为所求曲线的方程。····························5分
（Ⅱ）设点，由题意直线的斜率存在，设直线的方程为。于是两点的坐标满足方程组消去并整理得
，
因为是方程的一个根，则由韦达定理有
，所以，从而．
线段的中点为，则的坐标为．
下面分情况讨论：
(1) 当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴．
于是，由，得．
(2) 当时，线段的垂直平分线方程为
．令得
由，，

．整理得．．所以．     
综上，或

略