题目内容
在圆
上任取一点
,过点
作
轴的垂线段
,
为垂足,当点
在圆上运动时,线段
的中点
的轨迹为曲线
(Ⅰ)求曲线
的方程;
(Ⅱ)过点
的直线
与曲线
相交于不同的两点
, 点
在线段
的垂直平分线上,且
,求
的值










(Ⅰ)求曲线

(Ⅱ)过点









设
,则由题意知
,又点
在圆上,将
代入圆的方程整理得:
,即为所求曲线
的方程。····························5分
(Ⅱ)设点
,由题意直线
的斜率存在,设直线
的方程为
。于是
两点的坐标满足方程组
消去
并整理得
,
因为
是方程的一个根,则由韦达定理有
,所以
,从而
.
线段
的中点为
,则
的坐标为
.
下面分情况讨论:
(1) 当
时,点
的坐标为
,线
段
的垂直平分线为
轴.
于是
,
由
,得
.
(2) 当
时,线段
的垂直平分线方程为
.令
得
由
,
,

.整理得
.
.所以
.
综上,
或






(Ⅱ)设点









因为




线段




下面分情况讨论:
(1) 当






于是




(2) 当






由







综上,


略

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