题目内容
【题目】已知函数,
,当
时,恒有
;
(1)求的表达式;
(2)设不等式,
的解集为
,且
,求实数
的取值范围;
(3)若方程的解集为
,求实数
的取值范围;
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)由已知中函数,
,当
时,恒有
,我们可以构造一个关于
方程组,解方程组求出
的值,进而得到
的表达式;
(2)由(1)中函数的表达式,利用对数函数的单调性,我们可将不等式
,转化为一个分式不等式,由不等式
,
的解集为
,且
,可以构造出关于
的不等式,解不等式即可求出满足条件的实数
的取值范围.
(3)根据对数的运算性质,转化为一个关于的分式方程组,进而根据方程
的解集为
,则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集,分类讨论后,即可得到答案.
(1)当
时,恒有
;
,即
恒成立,
,又
,即
,从而
.
.
(2)由不等式,
即,且
,
由于解集,故
,
所以,即
,
又因为,所以实数
的取值范围为
.
(3),
方程的解集为,故有两种情况:
①方程无解,即
,得
;
②方程有解,两根均在
内,
令,
则,
综上①②得实数的取值范围
.
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