题目内容
【题目】已知函数(其中
为自然对数的底数).
(1)求的单调性;
(2)若,对于任意
,是否存在与
有关的正常数
,使得
成立?如果存在,求出一个符合条件的
;否则说明理由.
【答案】(1)当时,
在
上的单调递增;当
时,
在
上单调递减,
在
上单调递增;(2)存在与
有关的正常数
【解析】
(1)求导可得,分别讨论
,
,
时的情况,进而判断单调性即可;
(2)存在与有关的正常数
使得
,即
,则
,设
,满足
即可,利用导数可得
,再设
,利用导函数判断函数性质即可求解
(1),
①当时,
恒成立,所以
在
上的单调递增;
②当时,
,
,所以
在
上的单调递增;
③当时,令
,得
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
综上所述:当时,
在
上的单调递增;
当时,
在
上单调递减,
在
上单调递增
(2)存在,
当时,
,
设存在与有关的正常数
使得
,即
,
需求一个,使
成立,只要求出
的最小值,满足
,
∵,∴
在
上单调递减,在
上单调递增,
∴,
只需证明在
内成立即可,
令,
,
∴在
单调递增,
∴,
所以,故存在与
有关的正常数
使
成立
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