题目内容

【题目】已知数列{an}的各项均为正数,满足a1=1,ak+1﹣ak=ai . (i≤k,k=1,2,3,…,n﹣1)
(1)求证:
(2)若{an}是等比数列,求数列{an}的通项公式;
(3)设数列{an}的前n项和为Sn , 求证:

【答案】
(1)证明:∵ak+1﹣ak=ai>0(i≤k,k=1,2,3,…,n﹣1),

∴数列{an}是递增数列,即1<a2<a3<…<an

又∵ak+1﹣ak=ai≥1(i≤k,k=1,2,3,…,n﹣1),

∴ak+1﹣ak≥1(k=1,2,3,…,n﹣1).


(2)解:∵a2﹣a1=a1,∴a2=2a1

∵{an}是等比数列,∴数列{an}的公比为2.

∵ak+1﹣ak=ai(i≤k,k=1,2,3,…,n﹣1),∴当i=k时有ak+1=2ak

这说明在已知条件下,可以得到唯一的等比数列.


(3)证明:∵1=a1=1,2=a2=2, ,…,

由上面n个式子相加,得到:

化简得


【解析】(1)利用数列的单调性即可证明;(2)利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出;(3)利用“累加求和”与不等式的性质即可得出.

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