题目内容
【题目】如图所示的几何体
中，底面
为菱形， 
， 
， 
与
相交于
点，四边形
为直角梯形， 
， 
， 
，平面
底面
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】试题分析：
(1)利用题意证得
平面
.由面面垂直的判断定理可得平面
平面
.
(2)结合(1)的结论和题意建立空间直角坐标系，由平面的法向量可得二面角
的余弦值为
.
试题解析：
（1）因为底面
为菱形，所以
，
又平面
底面
，平面
平面
，
因此
平面
，从而
.
又
，所以
平面
，
由
， 
， 
，
可知
， 
，
， 
，
从而
，故
.
又
，所以
平面
.
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）取
中点
，由题可知
，所以
平面
，又在菱形
中， 
，所以分别以
， 
， 
的方向为
， 
， 
轴正方向建立空间直角坐标系
（如图示），
则
， 
， 
， 
， 
，
所以
， 
， 
.
由（1）可知
平面
，所以平面
的法向量可取为
.
设平面
的法向量为
，
则
即
即
令
，得
，
所以
.
从而
.
故所求的二面角
的余弦值为
.
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列联表，且已知在100个人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为
.
（1）请完成列联表；
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 30 | ||
合计 | 100 |
（2）根据列联表，是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由.
附：参考公式与临界值表如下：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
