题目内容

如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,且PC⊥平面ABCD,PC=AC=2,E是PA的中点。
(1)求证:AC⊥平面BDE;
(2)若直线PA与平面PBC所成角为30°,求二面角P-AD-C的正切值;
(3)求证:直线PA与平面PBD所成的角φ为定值,并求sinφ值。
(1)见解析       (2) tan∠PDC =  (3) sinφ=
(1)设CA与BD相交于O,连EO,
由底面ABCD是菱形得O是中点,且CA⊥BD,
E是PA的中点,得OE//PC
∵ PC⊥平面ABCD,∴OE⊥平面ABCD
∴ OE⊥AC
∴ AC⊥面BDE 
(2)由上知,建立如图坐标系,设BD=2a;

设平面的法向量为
,令x=1得
由题意PA与面PBC所成角为30°,得:得a=1。
解法一:当a=1时,底面ABCD是正方形,AD⊥CD
∵ PC⊥平面ABCD
∴ PC⊥AD
∴ AD⊥面PCD
则PD⊥AD
∠PDC是二面角P-AD-C的平面角,且tan∠PDC =解法二:当a=1时,
面ACD的法向量为(0,0,1),设面PAD的法向量为

令x=1,则
二面角P-AD-C的平面角为锐角θ,cosθ=,tanθ=(3)设面PBD的法向量为

令z=1得
则sinφ=为定值。
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