Question

【题目】已知直线：与直线：的距离为，椭圆：的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）在（1）的条件下，抛物线：的焦点与点关于轴上某点对称，且抛物线与椭圆在第四象限交于点，过点作抛物线的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）切线方程，面积为.

【解析】

（1）求出两平行直线间的距离，得到，结合离心率求得，再由隐含条件求得则椭圆的标准方程可求；（2）由抛物线焦点，可得抛物线方程，联立抛物线方程与椭圆方程，求得的坐标，写出抛物线在点处的切线为，再与抛物线方程联立求得切线斜率，得到切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．

（1）两平行直线间的距离，∴，

离心率，故，，

∴椭圆的标准方程为；

（2）由题意，抛物线焦点为，故其方程为.

联立方程组，解得或（舍去），∴.

设抛物线在点处的切线为，

联立方程组，整理得，

由，解之得，

∴所求的切线方程为．

即是.

令，得；

令，得.

故所求三角形的面积为.