题目内容
【题目】已知
(1)讨论函数的单调性;
(2)若对任意,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论的范围,求出函数的单调区间即可;
(2)将不等式转化为,令
,可得
,从而可以得到当函数
在
是减函数时一定成立,求得
的范围,再说明其他情况不成立,从而求得结果.
(1)因为,
所以,
当时,
,
在
上单调递减;
当时,由
,
解得在
上单调递减,
令,解得
在
上单调递增;
当时,令
,解得
在
上单调递减,
令,解得
在
上单调递增;
当时, 令
,解得
在
上单调递减,
令,解得
在
上单调递增;
(2)由得
,
令,且
,
所以当函数在
上是减函数时一定成立,
即在
上恒成立,
因为,
,所以
在
上恒成立,解得
,
当时,令
可得
,
从而可得在
上单调递增,在
上单调递减,
所以,不等式不恒成立,不满足条件,
当时,
在
上恒成立,此时
,不合题意,
综上所述,可得的取值范围是
.
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