题目内容
【题目】已知函数
，其中
且
.
（1）若函数
是奇函数，试证明：对任意的
，恒有
；
（2）若对于
，函数在区间
上的最大值是3，试求实数
的值；
（3）设
且
，问：是否存在实数，使得对任意的
，都有
？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）
（3）存在,
【解析】
（1）由函数
是奇函数，可得
，代入计算即可证明；
（2）
，
，对
分类讨论，利用对数函数的单调性即可得出；
（3）假设存在实数，使得对任意的
，都有
，则等价于对任意的，
的最小值大于
的最大值．令
，
，可得其最大值．于是问题等价于，的最小值大于1，再利用复合函数的单调性即可得出．
（1）证明：因为是定义域
内的奇函数，
所以对任意的
，恒有
由
，得
对任意的，恒有
（2）
当
时，
在区间
是增函数，
所以.
当
时
在区间是减函数，
无解
综上所述：
（3）
所以
又因为，所以
，又因为，所以
因为对任意的，都有
所以的最小值大于的最大值
递减，所以的最小值为
令，因为，所以递增，
所以的最大值为
所以
，解得
.
综上所述：满足题设的实数的取值范围是
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【题目】为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
阶梯级别 | 第一阶梯水量 | 第二阶梯水量 | 第三阶梯水量 |
月用水量范围（单位：立方米） |
|
|
|
从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数
的分布列与数学期望；
（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到
户月用水量为二阶的可能性最大，求的值．
