题目内容
(2013•未央区三模)已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A,B两点,N为弦AB的中点,O为坐标原点.
(1)求直线ON的斜率kON;
(2)对于椭圆C上的任意一点M,设
=λ
+μ
(λ∈R,μ∈R),求证:λ2+μ2=1.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
3 |
(1)求直线ON的斜率kON;
(2)对于椭圆C上的任意一点M,设
OM |
OA |
OB |
分析:(1)利用椭圆的离心率,化简椭圆的方程,设出AB的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,中点坐标公式及斜率公式,即可求斜率;
(2)确定坐标之间的关系,利用M,A,B在椭圆上,结合韦达定理,即可证明结论.
(2)确定坐标之间的关系,利用M,A,B在椭圆上,结合韦达定理,即可证明结论.
解答:(1)解:设椭圆的焦距为2c,
因为
=
,所以有
=
,故有a2=3b2.
从而椭圆C的方程可化为x2+3y2=3b2 ①
∴右焦点F的坐标为(
b,0),
据题意有AB所在的直线方程为:y=x-
b.②
由①,②有:4x2-6
bx+3b2=0.③
设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点N(x0,y0),由③及韦达定理有:x0=
b,y0=x0-
b=-
b
所以kON=
=-
,即为所求.…(6分)
(2)证明:显然
与
可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量
,有且只有一对实数λ,μ,使得等式
=λ
+μ
成立.
设M(x,y),由(1)中各点的坐标有:(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2),
故x=λx1+μx2,y=λy1+μy2.…(8分)
又因为点M在椭圆C上,所以有(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2
整理可得:λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2.④
由③有:x1+x2=
b,x1x2=
b2.
所以x1x2+3y1y2=3b2-9b2+6b2=0 ⑤
又点A,B在椭圆C上,故有x12+3y12=x22+3y22=3b2.⑥
将⑤,⑥代入④可得:λ2+μ2=1.…(13分)
因为
c |
a |
| ||
3 |
a2-b2 |
a2 |
2 |
3 |
从而椭圆C的方程可化为x2+3y2=3b2 ①
∴右焦点F的坐标为(
2 |
据题意有AB所在的直线方程为:y=x-
2 |
由①,②有:4x2-6
2 |
设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点N(x0,y0),由③及韦达定理有:x0=
3
| ||
4 |
2 |
| ||
4 |
所以kON=
y0 |
x0 |
1 |
3 |
(2)证明:显然
OA |
OB |
OM |
OM |
OA |
OB |
设M(x,y),由(1)中各点的坐标有:(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2),
故x=λx1+μx2,y=λy1+μy2.…(8分)
又因为点M在椭圆C上,所以有(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2
整理可得:λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2.④
由③有:x1+x2=
3
| ||
2 |
3 |
4 |
所以x1x2+3y1y2=3b2-9b2+6b2=0 ⑤
又点A,B在椭圆C上,故有x12+3y12=x22+3y22=3b2.⑥
将⑤,⑥代入④可得:λ2+μ2=1.…(13分)
点评:本题考查椭圆的方程与性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查韦达定理,考查学生的计算能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目