题目内容

(1)证明:PA∥平面BDE;
(2)证明:平面BDE⊥平面PBC.
分析:(1)连结AC,设AC与BD交于O点,连结EO,易证EO为△PAC的中位线,从而OE∥PA,再利用线面平行的判断定理即可证得PA∥平面BDE;
(2)依题意,易证DE⊥底面PBC,再利用面面垂直的判断定理即可证得平面BDE⊥平面PBC.
(2)依题意,易证DE⊥底面PBC,再利用面面垂直的判断定理即可证得平面BDE⊥平面PBC.
解答:证明:(1)连结AC,设AC与BD交于O点,连结EO.
∵底面ABCD是正方形,
∴O为AC的中点,又E为PC的中点,
∴OE∥PA,
∵OE?平面BDE,PA?平面BDE,
∴PA∥平面BDE.…(6分)
(2)∵PD=DC,E是PC的中点,
∴DE⊥PC.
∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥AD.又由于AD⊥CD,PD∩CD=D,故AD⊥底面PCD,
所以有AD⊥DE.又由题意得AD∥BC,故BC⊥DE.
于是,由BC∩PC=C,DE⊥PC,BC⊥DE可得DE⊥底面PBC.
故可得平面BDE⊥平面PBC.…(12分)
∵底面ABCD是正方形,
∴O为AC的中点,又E为PC的中点,
∴OE∥PA,
∵OE?平面BDE,PA?平面BDE,
∴PA∥平面BDE.…(6分)
(2)∵PD=DC,E是PC的中点,
∴DE⊥PC.
∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥AD.又由于AD⊥CD,PD∩CD=D,故AD⊥底面PCD,
所以有AD⊥DE.又由题意得AD∥BC,故BC⊥DE.
于是,由BC∩PC=C,DE⊥PC,BC⊥DE可得DE⊥底面PBC.
故可得平面BDE⊥平面PBC.…(12分)
点评:本题考查直线与平面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,在(1)中证得EO为△PAC的中位线,在(2)中证得DE⊥底面PBC是关键,考查推理证明的能力,属于中档题.

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