Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量 =（﹣1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），θ∈R．
（1）若 ⊥ ，且 ，求向量 ；
（2）若向量 与向量 共线，常数k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（n﹣8，t），∵ ⊥ ，且 ，∴﹣（n﹣8）+2t=0， =8 ，

解得t=±8，t=8时，n=24；t=﹣8时，n=﹣8．

∴向量 =（24，8），（﹣8，﹣8）．（2） =（ksinθ﹣8，t），

（2）解：∵向量 与向量 共线，常数k＞0，∴t=﹣2ksinθ+16，

∴f（θ）=tsinθ=﹣2ksin2θ+16sinθ=﹣2k + ．

①k＞4时， ，∴sinθ= 时，f（θ）=tsinθ取得最大值 ，

sinθ=﹣1时，f（θ）=tsinθ取得最小值﹣2k﹣16，此时函数f（θ）的值域为 ．

②4＞k＞0时， ＞1．∴sinθ=1时，f（θ）=tsinθ取得最大值﹣2k+16，

sinθ=﹣1时，f（θ）=tsinθ取得最小值﹣2k﹣16，

此时函数f（θ）的值域为[﹣2k﹣16，﹣2k+16]．

【解析】（1） =（n﹣8，t），由 ⊥ ，且 ，可得﹣（n﹣8）+2t=0， =8 ，联立解出即可得出．（2） =（ksinθ﹣8，t），由向量 与向量 共线，常数k＞0，可得t=﹣2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=﹣2ksin2θ+16sinθ=﹣2k + ．对k分类讨论，利用三角函数的值域、二次函数的单调性即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面向量的坐标运算(坐标运算：设，则;;设，则)．