题目内容

2.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax(x≤1)}\\{{a}^{2}x-7a+14(x>1)}\end{array}\right.$,若?x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是(  )
A.[2,3]∪(-∞,-5]B.(-∞,2)∪(3,5)C.[2,3]D.[5,+∞)

分析 分类讨论,利用二次函数的单调性,结合?x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),即可求得实数a的取值范围

解答 解:当a=0时,当x≤1时,f(x)=-x2,当x>1时,f(x)=14,此时存在当x∈[-1,1]时,满足条件.
若a>0,则当x>1时,f(x)为增函数,且f(x)>a2-7a+14,
当x≤1时,f(x)=-x2+ax=-(x-$\frac{a}{2}$)2+$\frac{{a}^{2}}{4}$,对称轴为x=$\frac{a}{2}$,
若$\frac{a}{2}$<1即a<2时,则满足条件,
若$\frac{a}{2}$≥1,即a≥2时,函数在(-∞,1]上单调递增,
要使条件成立则f(x)在(-∞,1]上的最大值f(1)=-1+a>a2-7a+14,
即a2-8a+15<0,
即3<a<5,
∵a≥2,
∴3<a<5,
综上3<a<5或a<2,
故选:B

点评 本题考查分段函数的应用,结合一元二次函数的单调性以及对称性是解决本题的关键.,注意分类讨论的数学思想,考查学生的计算能力,

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