题目内容
【题目】已知函数f(x)=lnx+x+ .
(Ⅰ)若a=﹣2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥a+1在(0,+∞)上恒成立,求a的值.
【答案】解:(Ⅰ)依题意,f(x)=lnx+x﹣ ,∴f′(x)=
, ∴f′(1)=4,又f(1)=﹣1,
∴所求切线方程为4x﹣y﹣5=0.
(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣a﹣1=lnx+x+ ﹣a﹣1,
则 =
,
①当a≤0时,g′(x)>0,∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又∵g(1)=0,∴当x∈(0,1)时,g(x)<0,
故不满足题意.
②当a>0时,由g′(x)=0,得x2+x﹣a=0,此方程有唯一正根x0 , ∴a= ,(*)
当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:
x | (0,x0) | x0 | (x0 , +∞) |
g′(x) | ﹣ | 0 | + |
g(x) | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
∴g(x)min=g(0)= =
=
,
要使g(x)≥0对任意正数x恒成立,需且只需g(x)min= ≥0,①
令μ(x)=lnx﹣x2+x,x>0,
则 =
,
当x变化时,μ′(x),μ(x)的变化情况如下表:
x | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
μ′(x) | + | 0 | ﹣ |
μ(x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
∴μmax=μ(1)=0,即lnx0﹣x02+x0≤0,②
由①②得lnx0﹣x02+x0=0,∴x0=1,
结合(*)得a= ,
综上所述,a=2
【解析】(Ⅰ)由已知得f(x)=lnx+x﹣ ,从而f′(x)=
,利用导数的几何意义能求出切线方程.(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣a﹣1=lnx+x+
﹣a﹣1,则
=
,由a≤0和a>0分类讨论,得到要使g(x)≥0对任意正数x恒成立,需且只需g(x)min=
≥0,令μ(x)=lnx﹣x2+x,x>0,则
=
,利用导数性质列表讨论经,得到lnx0﹣x02+x0≤0,由此能求出a.
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