Question

17．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面的边长都是2，D是AC的中点．
（1）求证：BD⊥A₁D；
（2）求直线BA₁与平面AA₁C₁C所成角的余弦值；
（3）求三棱锥A₁-ABD的体积；
（4）求三角形A₁BD的面积，并求出点A到平面A₁BD的距离．

Answer 1

分析 （1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中点．可得BD⊥AC，AA₁⊥底面ABC，于是AA₁⊥BD，BD⊥平面ACC₁A₁，即可证明．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系．取平面AA₁C₁C的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．设直线BA₁与平面AA₁C₁C所成角为θ．利用sinθ=$|cos＜\overrightarrow{{A}_{1}B}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}||\overrightarrow{m}|}$，即可得出．
（3）由已知可得：点A₁到平面ABC的距离d=AA₁=2．利用${V}_{{A}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}d•{S}_{△ABD}$，即可得出．
（4）设点A到平面A₁BD的距离为h．利用${V}_{A-{A}_{1}BD}$=${V}_{{A}_{1}-ABD}$，即可得出．

解答 （1）证明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中点．
∴BD⊥AC，AA₁⊥底面ABC，
∴AA₁⊥BD，
又AC∩AA₁=A，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴BD⊥A₁D．
（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系．
B（$\sqrt{3}$，0，0），A₁（0，1，2）．
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=$（\sqrt{3}，-1，-2）$，取平面AA₁C₁C的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．
设直线BA₁与平面AA₁C₁C所成角为θ．
则sinθ=$|cos＜\overrightarrow{{A}_{1}B}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
（3）解：∵AA₁⊥底面ABC，∴点A₁到平面ABC的距离d=AA₁=2．
又S_△ABD=$\frac{1}{2}BD•AD$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴${V}_{{A}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}d•{S}_{△ABD}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（4）解：在Rt△ADA₁，A₁D=$\sqrt{A{A}_{1}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
由（1）可知：BD⊥A₁D．
∴${S}_{△{A}_{1}BD}$=$\frac{1}{2}BD•{A}_{1}D$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{35}}{2}$．
设点A到平面A₁BD的距离为h．
则${V}_{A-{A}_{1}BD}$=${V}_{{A}_{1}-ABD}$
∴$\frac{1}{3}•h•{S}_{△{A}_{1}BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{35}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{105}}{35}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、体积计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．