题目内容
【题目】已知动点到直线的距离比到点的距离大
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)为上两点,为坐标原点,,过分别作的两条切线,相交于点,求面积的最小值.
【答案】(1)轨迹为抛物线,其方程为.(2)
【解析】
(1)设点的坐标为,根据条件列出方程,然后化简即可;
(2)设直线的方程为,,联立直线与抛物线的方程得出,然后用表示出和点到直线的距离,然后可得到,即可求出其最小值.
(1)设点的坐标为
因为动点到定直线的距离比到点的距离大
所以,且,化简得
所以轨迹为抛物线,其方程为
(2)依题意,设直线的方程为
由,得
因为直线与抛物线交于两点
所以
设,
又因为
所以
所以
所以
所以
所以
由
过点的切线方程为,即①
过点的切线方程为,即②
由①②得,,
所以过的两条抛物线的切线相交于点
所以点到直线的距离
当时,的面积最小,最小值为
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