题目内容
【题目】已知函数,
,其导函数为
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,关于
的不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若函数有两个零点
,
,求证:
.
【答案】(1)见解析;(2);(3)证明见解析
【解析】
(1)求导得到,讨论
和
两种情况,得到答案.
(2),设
,求导得到单调性得到
,得到答案.
(3)要证,即
,构造函数
,证明函数单调递减,得到
,根据单调性得到答案.
(1),
,
当时,
恒成立,函数单调递增;
当时,
,
,故
在
上单调递减,在
上单调递增.
综上所述:时,函数在R上单调递增,
时,函数在
上单调递减,在
上单调递增.
(2),即
,设
,
则
设,则
在
上恒成立,故
单调递增,
故,故
在
上单调递减,在
上单调递增,
故,故
.
(3),故
,
,相加得到
.
要证,即证
,即
.
,即
,设
,则
,
函数在
上单调递减,在
上单调递减,在
上单调递增,
函数图像如图所示:故取,
构造函数,
,
,
,函数在
上单调递减,故
,
当时,
,函数单调递减,
,故
.
即,即
,
,
,函数单调递增,
故,即
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】某学校为了了解学生使用手机的情况,分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频数分布表和频率分布直方图,将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”.
(I)将频率视为概率,估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大?请说明理由.
(II)在高二的抽查中,已知随机抽到的女生共有55名,其中10名为“手机迷”.根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关?
非手机迷 | 手机迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
附:随机变量(其中
为样本总量).
参考数据 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
span>2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |