题目内容
【题目】在四棱锥中,侧面
⊥底面
,底面
为直角梯形,
//
,
,
,
,
为
的中点.
(Ⅰ)求证:PA//平面BEF;
(Ⅱ)若PC与AB所成角为,求
的长;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角F-BE-A的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)二面角的余弦值为
.
【解析】分析:(Ⅰ)连接AC交BE于O,并连接EC,FO,由题意可证得四边形ABCE为平行四边形,则,
//平面
.
(Ⅱ)由题意可得,且
,则
,故
.
(Ⅲ)取中点
,连
,由题意可知
的平面角,由几何关系计算可得二面角
的余弦值为
.
详解:(Ⅰ)证明:连接AC交BE于O,并连接EC,FO,
,
为
中点
AE//BC,且AE=BC
四边形ABCE为平行四边形
O为AC中点
又F为AD中点
,
,
//平面
(Ⅱ)由BCDE为正方形可得
由ABCE为平行四边形可得//
为
即
,
侧面
底面
侧面
底面
平面
,
,
.
(Ⅲ)取中点
,连
,
,
,
平面
,
的平面角,
又,
,
所以二面角的余弦值为
.
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