题目内容
已知函数f(x)=ln x-ax+1在x=2处的切线斜率为-
.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=
,对?x1∈(0,+∞),?x2∈(-∞,0)使得f(x1)≤g(x2)成立,求正实数k的取值范围;
(3)证明:
+
+…+
<
(n∈N*,n≥2).

(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=

(3)证明:




(1)即f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)k≥1
(3)见解析
(2)k≥1
(3)见解析
(1)解 由已知得f′(x)=
-a,∴f′(2)=
-a=-
,解得a=1.
于是f′(x)=
-1=
,
当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,
即f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)解 由(1)知x1∈(0,+∞),f(x1)≤f(1)=0,即f(x1)的最大值为0,
由题意知:对?x1∈(0,+∞),?x2∈(-∞,0)使得f(x1)≤g(x2)成立,
只需f(x)max≤g(x)max.
∵g(x)=
=x+
+2k=-
+2k≤-2
+2k,
∴只需-2
+2k≥0,解得k≥1.
(3)证明 要证明
+
+…+
<
(n∈N*,n≥2).
只需证
+
+…+
<
,
只需证
+
+…+
<
.
由(1)当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,
f(x)=ln x-x+1≤0,即ln x≤x-1,
∴当n≥2时,ln n2<n2-1,
<
=1-
<1-
=1-
+
,
+
+…+
<
+
+…+
=n-1-
+
=
,
∴
+
+…+
<
.



于是f′(x)=


当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,
即f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)解 由(1)知x1∈(0,+∞),f(x1)≤f(1)=0,即f(x1)的最大值为0,
由题意知:对?x1∈(0,+∞),?x2∈(-∞,0)使得f(x1)≤g(x2)成立,
只需f(x)max≤g(x)max.
∵g(x)=




∴只需-2

(3)证明 要证明




只需证




只需证




由(1)当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,
f(x)=ln x-x+1≤0,即ln x≤x-1,
∴当n≥2时,ln n2<n2-1,















∴





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