Question

3．已知α＞0，β＞0，且$α+2β=\frac{π}{2}$．
（1）若4sin²α+1=2cos²β，求sin（α-β）的值；
（2）若$β≥\frac{π}{12}$，求函数y=tanα+tanβ的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知中α＞0，β＞0，且$α+2β=\frac{π}{2}$．可得sinα=sin（$\frac{π}{2}-2β$）=cos2β=2cos²β-1，若4sin²α+1=2cos²β，则sinα=4sin²α，进而求出α，β的两弦值，代入两角差的正弦公式，可得sin（α-β）的值；
（2）利用诱导公式，二倍角公式，万能公式，可将函数y=tanα+tanβ化为y=$\frac{1}{sin2β}$，结合$β≥\frac{π}{12}$及正弦型函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：（1）∵α＞0，β＞0，且$α+2β=\frac{π}{2}$．
∴sinα=sin（$\frac{π}{2}-2β$）=cos2β=2cos²β-1，
若4sin²α+1=2cos²β，则4sin²α=2cos²β-1，
即sinα=4sin²α，
解得：sinα=0（舍去）或sinα=$\frac{1}{4}$，
则cosα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
进而2cos²β-1=$\frac{1}{4}$，则cosβ=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，sinβ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
故sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=-$\frac{\sqrt{10}}{8}$
（2）若$β≥\frac{π}{12}$，则2β≥$\frac{π}{6}$且2β＜$\frac{π}{2}$，
则sin2β∈[$\frac{1}{2}$，1）
函数y=tanα+tanβ=$\frac{1}{tan2β}$+tanβ=$\frac{1-{tan}^{2}β}{2tanβ}$+tanβ=$\frac{1+{tan}^{2}β}{2tanβ}$=$\frac{1}{sin2β}$∈（1，2]，
故函数y=tanα+tanβ的值域为（1，2]．

点评 本题考查的知识点是两角差的正弦公式，诱导公式，二倍角公式，万能公式，是三角函数的综合应用，难度较大，属于难题．