题目内容
【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线与直线
垂直(其中
为自然对数的底数).
(I)求的解析式及单调递减区间;
(II)是否存在常数,使得对于定义域内的任意
恒成立?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)单调减区间为和
(2)
【解析】试题分析:
(1)由题意可得,对函数求导可得函数
的单调减区间为
和
(2)不等式等价于
①当时,令
,由函数的性质可得
;
②当时,可得
,
综合①②可得: .
试题解析:
(I),
又由题意有: ,
故
此时, ,
由或
,
函数
的单调减区间为
和
(说明:减区间写为的扣
分).
(II)要恒成立,
即
①当时,
,则要:
恒成立,
令,
再令,
在
内递减,
当
时,
,
故,
在
内递增,
;
②当时,
,则要:
恒成立,
由①可知,当时,
,
在
内递增,
当
时,
,故
,
在
内递增,
,
综合①②可得: ,
即存在常数满足题意.
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