Question

16．等边△ABC的边长为a，过△ABC的中心O作OP⊥平面ABC且OP=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，则点P到△ABC的边BC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$．

Answer 1

分析 如图所示，AO与BC边相交于点D．由等边△ABC的边长为a，O是△ABC的中心，可得AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PD⊥BC．OD=$\frac{1}{3}$AD．在RtPOD中，利用勾股定理可得PD=$\sqrt{P{O}^{2}+O{D}^{2}}$．

解答 解：如图所示，
AO与BC边相交于点D．
∵等边△ABC的边长为a，O是△ABC的中心，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PD⊥BC．
OD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
在RtPOD中，
PD=$\sqrt{P{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{6}}{3}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{6}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}a$．

点评 本题考查了正三角形的性质、正三棱锥的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．