Question

1．已知函数f（x）=x²-2ax+1．
（1）若函数g（x）=log_a[f（x）+a]（a＞0，a≠1）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）当x＞0时，恒有不等式$\frac{f（x）}{x}$＞lnx成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题可知x²-2ax+1+a＞0在R上恒成立，利用二次函数的性质可得a的范围；
（2）整理不等式得x+$\frac{1}{x}$-lnx＞2a，构造函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$-lnx，利用导数求出函数的最小值即可．

解答 （1）由题意可知，
x²-2ax+1+a＞0在R上恒成立，
∴△=4a²-4-4a＜0，
∴0＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，且a≠1；
（2）∵$\frac{f（x）}{x}$＞lnx，
∴x+$\frac{1}{x}$-lnx＞2a，
令f（x）=x+$\frac{1}{x}$-lnx，
∴f'（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$+1，
令f'（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$+1=0，
∴x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴x∈（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
x∈（0，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
∴f（x）≥f（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）=$\sqrt{5}$-ln$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴a＜$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-ln$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）．

点评 考查了对数函数，二次函数的性质和恒成立问题的转换．难点是利用导函数求出构造函数的最小值．