Question

8．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，已知线段F₁F₂被点（b，0）分成3：1的两段，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 根据题意，线段F₁F₂被点（b，0）分成3：1两段，可得（b，0）到左焦点的距离等于双曲线焦距的$\frac{3}{4}$，由此列式：c+b=$\frac{3c}{2}$．再结合双曲线中的平方关系：b²=c²-a²，代入消去b，得到a、c之间的关系式，从而得出此双曲线的离心率．

解答 解：∵双曲线左，右焦点分别为F₁，F₂，
∴|F₁F₂|=2c
∵线段F₁F₂被点（b，0）分成3：1两段
∴c+b=$\frac{3c}{2}$
∴b=$\frac{1}{2}$c
∵b²=c²-a²
∴c²-a²=$\frac{1}{4}$c²，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
故选：B．

点评 本题以求双曲线的离心率为例，考查了双曲线中的基本概念与基本关系等双曲线的简单性质，属于基础题．