题目内容

(满分12分)设是抛物线p>0)的内接正三角形(为坐标原点),其面积为;点M是直线上的动点,过点M作抛物线的切线MPMQPQ为切点.
(1)求抛物线的方程;
(2)直线PQ是否过定点,若过定点求出定点坐标;若不过定点,说明理由;
(3)求MPQ面积的最小值及相应的直线PQ的方程.
(1); (2)直线PQ过定点
(3)
MPQ面积有最小值.此时直线PQ的方程是:..
本试题主要是考查了抛物线的方程的求解,以及直线方程的求解,和三角形面积的最值的求解的综合运用。
(1)利用其性质得到抛物线的方程;
(2)假设直线PQ过定点,那么分析其方程的特点发现结论。
(3)结合三角形的面积公式,而控制得到直线与抛物线联立方程组的思想表示弦长,然后得到求解。
解:(1).因为正面积是,设边长为
................................1'
又设

,所以点A,B关于轴对称,..............2'
于是令可得,抛物线方程是:;....................4'
(2).设,切点,则切线MP:,MQ:,相较于M,所以,可得直线PQ的方程:
时,无关,所以直线PQ过定点;.....................8'
(3). 设,由(2)知直线PQ的方程是:

,.............10'
又点M到直线PQ的距离为
所以....12'
MPQ面积有最小值.此时直线PQ的方程是:..
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