Question

11．过$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左焦点F₁作斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$直线交椭圆于A，B两点，若|AF₁|=7|BF₁|，则e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 设|BF₁|=t，|AF₁|=7t，作出左准线l，B，A在准线上的射影为C，D，运用椭圆的第二定义，结合解直角三角形ABE，即可得到所求离心率．

解答 解：设|BF₁|=t，|AF₁|=7t，
作出左准线l，B，A在准线上的射影为C，D，
椭圆的离心率为e，由椭圆的第二定义可得
|BC|=$\frac{t}{e}$，|AD|=$\frac{7t}{e}$，即有|AE|=$\frac{6t}{e}$，
|AB|=8t，在直角三角形ABE中，
∠ABE=60°，sin60°=$\frac{|AE|}{|AB|}$，
即有$\frac{6t}{8et}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的第二定义的运用，注意运用图形和解直角三角形，属于中档题．