题目内容
如图，直线ll：y=2x与直线l2：y=-2x之间的阴影区域（不含边界）记为w，其左半部分记为w1，右半部分记为W2．
（1）分别用不等式组表示w1和w2：
（2）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于4，求点P的轨迹C的方程；
（3）设不过原点的直线l与曲线C相交于Ml，M2两点，且与ll，l2如分别交于M3，M4两点．求证△OMlM2的重心与△OM3M4的重心重合．
【三角形重心坐标公式：△ABC的顶点坐标为A（xl，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心坐标为（
，
）】
（1）分别用不等式组表示w1和w2：
（2）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于4，求点P的轨迹C的方程；
（3）设不过原点的直线l与曲线C相交于Ml，M2两点，且与ll，l2如分别交于M3，M4两点．求证△OMlM2的重心与△OM3M4的重心重合．
【三角形重心坐标公式：△ABC的顶点坐标为A（xl，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心坐标为（
| x1+x2+x3 |
| 3 |
| y1+y2+y3 |
| 3 |
（1）由图象可知W1：
，W2：
．
（2）由题意知，
×
=4得|
-
|=1，又P在W内，故有
-
=1．
（3）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a（a≠O）．由于直线l，曲线C关于x轴
对称，且ll1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），
所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（
，0），即它们的重心重合．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠O），
由
，得（4-m2）x2-2mnx-n2-20=0，
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知4-m2≠0，且
△=（2mn）2+4（4-m2）（n2+20）＞0…（1分）
设M1，M2的坐标分别为（xl，y1），（x2，y2）．
则xl+x2=
，y1+y2═m（xl+x2）+2n
设M3，M4的坐标分别为（x3，x4），（x4，y4）．
由
与
，得x3=
，x3=
从而x3+x4=
=x1+x2
所以y3+y4=m（x3+x4）+2n=m（x1+x2）+2n=y1+y2
所以
=
，
=
于是AOM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．
|
|
（2）由题意知，
| |2x-y| | ||
|
| |2x+y| | ||
|
| x2 |
| 5 |
| y2 |
| 20 |
| x2 |
| 5 |
| y2 |
| 20 |
（3）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a（a≠O）．由于直线l，曲线C关于x轴
对称，且ll1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），
所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（
| 2a |
| 3 |
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠O），
由
|
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知4-m2≠0，且
△=（2mn）2+4（4-m2）（n2+20）＞0…（1分）
设M1，M2的坐标分别为（xl，y1），（x2，y2）．
则xl+x2=
| 2mn |
| 4-m2 |
设M3，M4的坐标分别为（x3，x4），（x4，y4）．
由
|
|
| n |
| 2-m |
| n |
| 2+m |
从而x3+x4=
| 2mn |
| 4-m2 |
所以y3+y4=m（x3+x4）+2n=m（x1+x2）+2n=y1+y2
所以
| 0+x1+x2 |
| 3 |
| 0+x3+x4 |
| 3 |
| 0+y1+y2 |
| 3 |
| 0+y3+y4 |
| 3 |
于是AOM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．
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，
，若点
，则
的最小值为（ ）
