Question

已知三条直线l₁：2x-y+a =" 0" (a＞0)，直线l₂：-4x+2y+1 = 0和直线l₃：x+y-1= 0，且l₁与l₂的距离是．
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条 件：
①P是第一象限的点；
②P 点到l₁的距离是P点到l₂的距离的 ；
③P点到l₁的距离与P点到l₃的距离之比是∶．若能，求P点坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

（1）a = 3;（2）P(，)

解析试题分析：（1）将两直线方程化为同系数方程,利用两直线间距离公式计算得a = 3;（2）设点P(x₀，y₀)，若P点满足条件②，则P点在与l₁、l₂平行的直线：2x-y+c =" 0" 上,由平行线间的距离公式得=×，所以c =或c =,即2x₀-y₀+= 0或2x₀-y₀+= 0,若P点满足条件③由点到直线的距离公式有x₀-2y₀+4= 0或3x₀+2 = 0,又结合条件①解得,即点P(，)为能同时满足三个条件的点.
试题解析：（1）l₂方程变形为2x-y-= 0，
∴l₁与l₂的距离d ===，
∴|| =，由a＞0解得a = 3．
（2）设点P(x₀，y₀)，若P点满足条件②，则P点在与l₁、l₂平行的直线：2x-y+c =" 0" 上．
且=×，解得c =或c =，∴2x₀-y₀+= 0或2x₀-y₀+= 0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有
=·，即|| = ||，
∴x₀-2y₀+4= 0或3x₀+2 = 0；
由P在第一象限，显然3x₀+2 = 0不可能，
联立方程2x₀-y₀+= 0和x₀-2y₀+4= 0，解得(舍去)，
联立方程2x₀-y₀+= 0和x₀-2y₀+4= 0，解得，
∴点P(，)即为能同时满足三个条件的点．
考点：直线的方程与位置关系及距离公式的应用