Question

【题目】如图，已知椭圆，过点，离心率为，左、右焦点分别为、．点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点．

（）求椭圆的标准方程；

（）设直线、斜率分别为、．

①证明：；

②问直线上是否存在一点，使直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析，②.

【解析】

试题分析：（1）利用椭圆过已知点和离心率结合性质，列出关于 、 、的方程组，求得和，则椭圆的方程可得；（2）①把直线的方程联立求得交点的坐标的表达式，代入直线上，整理求得，原式得证；②设出的坐标,联立直线和椭圆的方程根据韦达定理表示出和,进而可求得直线、斜率的和与、斜率的和,由，推断出或分别讨论可求得点的坐标.

试题解析：（）因为椭圆过点，，

所以，．

又，所以，，，

故椭圆方程为．

（）①设，则，，

因为点不在轴上，所以．

又，

所以．

②设，，，，

联立直线与椭圆方程得，

化简得，

因此，，

由于、斜率存在，

所以，，因此，，

因此．

类似可以得到

，，，，，

故．

若，必须有或．

当时，结合①的结论，可得，

所以解得点坐标为．

当时，结合①的结论，可得或（舍去），

此时直线的方程为，联立方程得，．

因此点坐标为．