Question

【题目】已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：=Sn(S2n＋S3n).

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】试题分析：

设此等比数列的公比为q，首项为a1，分类讨论：

当q=1时，则Sn=na1，S2n=2na1，S3n=3na1，满足,

当q≠1时，则Sn=，S2n=，S3n=，据此计算可知也满足.

综上可得题中的等式成立.

试题解析：

设此等比数列的公比为q，首项为a1，

当q=1时，则Sn=na1，S2n=2na1，S3n=3na1，

S＋S=n2a＋4n2a=5n2a，Sn(S2n＋S3n)=na1(2na1＋3na1)=5n2a，

∴S＋S=Sn(S2n＋S3n).

当q≠1时，则Sn=，S2n=，S3n=，

∴S＋S=·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]=·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n).

又Sn(S2n＋S3n)=·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴S＋S=Sn(S2n＋S3n).