Question

1．某单位计划征用一块土地盖一幢每层建筑面积均为30000m²的宿舍楼，已知土地的征用费是2250元/m²，土地的征用面积为45000m²．经核算：第一层的建筑费是400元/m²，以后每增加一层，建筑费增加30元/m²．请设计宿舍楼的层数，使得平均每层的总费用最低．（总费用包括建筑费和征地费）

Answer 1

分析 设楼高为n层，求出征地面积、征地费用、楼层建筑费用，从而可得总费用，利用基本不等式，即可求平均每层的总费用最低．

解答 解：（1）设楼高为n层，则征地面积为45000m²．征地费用为45000×2250=10125（万元）
楼层建筑费用为[400n+$\frac{n（n-1）}{2}×30$]×$\frac{30000}{10000}$=3（15n²-385n）（万元）
从而总费用为：f（n）=3（15n²-385n）+10125（万元），
则每层的平均费用为$\frac{f（n）}{n}$=45n+$\frac{10125}{n}$-1155≥2$\sqrt{45n•\frac{10125}{n}}$-1155=2×675-1155=195（万元）
当且仅当45n=$\frac{10125}{n}$，解得n=15（层）时，总费用y最小．
故当这幢宿舍的楼高层数为15层时，使得平均每层的总费用最低．

点评 本题考查了函数的应用问题，根据条件求出平均费用，利用基本不等式进行求解是解决本题的关键．