Question

6．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=1-a_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）比较$\frac{1}{1+{a}_{n}}$与$\frac{n}{1+n}$-$\frac{{n}^{2}}{（n+1）^{2}}$（a_n-$\frac{1}{n}$）大小（n∈N^*）；
（3）证明：$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$＞$\frac{{n}^{2}}{n+1-{a}_{n}}$（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n，进而计算可得结论；
（2）记x=$\frac{1}{n}$，通过构造函数f（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$•（a_n-x）（x＞0），通过求导可知f（x）的最大值为f（a_n）=$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，进而计算可得结论；
（3）通过（2）可知$\frac{1}{1+{a}_{i}}$≥$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$•（a_i-x），进而计算可得结论．

解答 （1）解：∵S_n=1-a_n，
∴S_n+1=1-a_n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（1-a_n+1）-（1-a_n）=a_n-a_n+1，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，
∵a₁=1-a₁，即a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）解：记x=$\frac{1}{n}$，构造函数f（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$•（a_n-x）（x＞0），
∵f′（x）=$\frac{2（{a}_{n}-x）}{（1+x）^{3}}$，
∴f（x）的最大值为f（a_n）=$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，
∴f（$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，
即$\frac{1}{1+{a}_{n}}$＞$\frac{n}{1+n}$-$\frac{{n}^{2}}{（n+1）^{2}}$（a_n-$\frac{1}{n}$）；
（3）证明：由（2）可知$\frac{1}{1+{a}_{i}}$≥$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$•（a_i-x），
当且仅当x=a_i时取等号，其中x＞0，i=1、2、…、n，
∴$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$＞$\frac{n}{1+x}$-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$•（a₁+a₂+…+a_n-nx），
令x=$\frac{1}{n}$•（a₁+a₂+…+a_n），则a₁+a₂+…+a_n-nx=0，
∴$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$＞$\frac{n}{1+\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}}$，
又∵a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{n}{1+\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}}$
=$\frac{n}{\frac{n+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}}{n}}$
=$\frac{{n}^{2}}{n+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}}$
=$\frac{{n}^{2}}{n+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}}$
=$\frac{{n}^{2}}{n+1-{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$＞$\frac{{n}^{2}}{n+1-{a}_{n}}$（n∈N^*，n≥2）．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．