题目内容

11.已知数列{an}的前n项和为Sn,直线x+y-2n=0(n∈N*)经过点(an,Sn).
(1)求出a1、a2、a3、a4的值;
(2)请你猜想通项公式an的表达式,并选择合适的方法证明你的猜想.

分析 (1)直接由已知结合数列递推式计算a1、a2、a3、a4的值,并猜想an的表达式;
(2)由数列递推式得到an=$\frac{1}{2}$an-1+1(n≥2),然后构造等比数列{an-2},由等比数列的通项公式得答案.

解答 解:(1)由题意可得:Sn=2n-an,得S1=2-a1,即a1=1.
S2=a1+a2=4-a2,解得a2=$\frac{3}{2}$.
S3=a1+a2+a3=6-a3,解得a3=$\frac{7}{4}$.
S4=a1+a2+a3+a4=8-a4,解得a4=$\frac{15}{8}$.
(2)猜想:an=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$.
证明:由Sn=2n-an,得
Sn-1=2(n-1)-an-1(n≥2).
两式作差得,an=$\frac{1}{2}$an-1+1(n≥2).
即an-2=$\frac{1}{2}$(an-1-2)(n≥2).
∴数列{an-2}是以-1为首项,以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列.
∴an-2=-($\frac{1}{2}$)n-1,
即an=2-($\frac{1}{2}$)n-1=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$.

点评 本题考查了数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了归纳猜想思想方法,是中档题.

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