Question

17．设{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和，满足a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）如果b_n=|a_n|（n∈N），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设公差为d≠0，由已知条件得a₂²+（a₂+d）²=a₄²+（a₄+d）²，化简得a₂+a₄+d=0，又S₇=7a₄=7，所以a₄=1．a₃=a₂+d=-a₄=-1．由此能求出数列{a_n}的通项公式．由a₁=2-7=-5，a_n=2n-7，能求出数列{a_n}的前n项和．
（2）令a_n≤0．解得n的范围，可得b_n=|a_n|的通项公式，对n分类讨论，利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设公差为d≠0，
∵a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，∴a₂²+（a₂+d）²=a₄²+（a₄+d）²，
化简得2（a₂²-a₄²）+2d（a₂-a₄）=0⇒（a₂-a₄）（a₂-+a₄+d）=0，
又d≠0，故a₂-a₄≠0，从而a₂+a₄+d=0，
又S₇=7a₄=7，∴a₄=1．从而a₃=a₂+d=-a₄=-1．
进而d=a₄-a₃=2，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=1+（n-4）•2=2n-7，n∈N*．
∵a₁=2-7=-5，a_n=2n-7，
∴数列{a_n}的前n项和：${S}_{n}=\frac{-5+2n-7}{2}•n$=n²-6n．
（2）解：令a_n≤0．解得n≤$\frac{7}{2}$，
∴b_n=|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}7-2n，n≤3\\ 2n-7，n＞3\end{array}\right.$，
∴当n≤3时，{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n（5+7-2n）}{2}$=6n-n²；
当n≥4时，{b_n}的前n项和T_n=5+3+1+1+…+（2n-7）=8+$\frac{（n-3）（1+2n-7）}{2}$=n²-6n+17．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}6n-{n}^{2}，n≤3\\{n}^{2}-6n+17，n＞3\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的前n项和公式、含绝对值数列的求和问题，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．