Question

14．已知直线（3-7a+2a²）x-（9-a²）y+3a²=0的倾斜角的正弦为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则a的值为（　　）

• A． $-\frac{2}{3}$或4
• B． 3或$-\frac{2}{3}$
• C． $-\frac{2}{3}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正弦为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$求出直线的斜率，然后得到关于a的方程，求解方程后验证得答案．

解答 解：由直线（3-7a+2a²）x-（9-a²）y+3a²=0，得其斜率k=$\frac{3-7a+2{a}^{2}}{9-{a}^{2}}$，
设直线的倾斜角为α，即tanα=$\frac{3-7a+2{a}^{2}}{9-{a}^{2}}$，
由题意sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$α=\frac{π}{4}$或$α=\frac{3π}{4}$，则tanα=$\frac{3-7a+2{a}^{2}}{9-{a}^{2}}$=±1，
当$\frac{3-7a+2{a}^{2}}{9-{a}^{2}}$=1时，解得a=3或a=-$\frac{2}{3}$；
当$\frac{3-7a+2{a}^{2}}{9-{a}^{2}}$=-1时，解得a=3或a=4．
经检验a=3时不合题意，∴a的值为$-\frac{2}{3}$或4．
故选：A．

点评 本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角和斜率的关系，是基础题．