题目内容
6.已知腰长为1的等腰三角形ABC中,AB⊥AC,E,F分别是边AB,AC上的动点,且AE=mAB,AF=nAC(0≤m<1,0<n<1),m+n=1,设BF与CE的交点为P,则线段AP的长有( )A. | 最大值$\frac{\sqrt{2}}{3}$ | B. | 最小值$\frac{\sqrt{2}}{3}$ | C. | 最大值1 | D. | 最小值1 |
分析 取极值法,m=1,n=0,以及n=1,m=0时,交点为B或C,对应AP=1,
m=n=$\frac{1}{2}$时AP取得最小值,交点P是三角形的重心,求出即可.
解答 解:如图所示,
等腰三角形ABC中,AB⊥AC,且AB=1;
E,F分别是边AB,AC上的动点,AE=mAB,AF=nAC(0≤m<1,0<n<1),m+n=1;
根据题意得,当m=n=$\frac{1}{2}$时AP取得最小值,
此时E F是各边的中点,
又因为三角形是等腰△,
所以交点P是三角形底边高上的一点,
即P是三角形3条中线的交点,P是三角形的重心,
由重心公式得AP=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$.
点评 本题考查了等腰直角三角形的边角关系的应用问题,也考查了特殊值应用问题,是基础题目.
练习册系列答案
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16.椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的左右焦点为F1、F2,且|F1F2|=2,过F2的弦为AB,三角形F1AB的周长为12,则b=( )
A. | 2$\sqrt{2}$ | B. | 2 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{6}$ |
14.复数(2λ2+5λ+2)+(λ2+λ-2)i为虚数,则实数λ满足( )
A. | λ=-$\frac{1}{2}$ | B. | λ=-2或-$\frac{1}{2}$ | C. | λ≠-2 | D. | λ≠1且λ≠-2 |