题目内容

19.如图,在五面体ABCDEF中,AB∥CD∥EF,CD=EF=CF=2AB=2AD=2,∠DCF=60°,AD⊥CD,平面CDEF⊥平面ABCD.
(1)求异面直线BE与CF所成角的余弦值;
(2)证明:直线CE⊥平面ADF;
(3)已知P为棱BC上的点,且二面角P-DF-A为60°,求PE的长.

分析 (1通过证明GD⊥EF,通过GD⊥平面ABCD,以D为原点,DA,DC,DG的方向为x,y,z轴,建立空间直角坐标系
求出异面直线BE与CF对应的向量.利用空间向量数量积求解即可.
(2)证明CE⊥DA,CE⊥DF,利用直线与平面垂直的判定定理证明直线CE⊥平面ADF.
(3)设P(a,2-a,0)(0<a≤1),求出平面PDF的法向量,通过二面角P-DF-A为60°,通过二面角求出a,然后求解,PE.

解答 (1)解:∵CD∥EF,CD=EF=CF=2∴四边形CDEF为菱形,
∵∠DCF=60°,∴△DEF为正三角形,取EF的中点G,连接GD,则GD⊥EF
∴GD⊥CD,∵平面CDEF⊥平面ABCD,GD?平面CDEF,CD=平面CDEF∩平面ABCD,
∴GD⊥平面ABCD
∵AD⊥CD∴DA,DC,DG两两垂直…(2分)
以D为原点,DA,DC,DG的方向为x,y,z轴,建立空间直角坐标系

∵CD=EF=CF=2,AB=AD=1,
∴$A(1,0,0),\;B(1,1,0),\;C(0,2,0),\;E(0,-1,\sqrt{3}),\;F(0,1,\sqrt{3})$…(3分)
∴$\overrightarrow{BE}=(-1,-2,\sqrt{3}),\;\overrightarrow{CF}=(0,-1,\sqrt{3})$,
设异面直线BE与CF所成角为α
则$cosα=|cos<\overrightarrow{BE},\overrightarrow{CF}>|=\frac{{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}|}}{{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{CF}|}}=\frac{5}{{\sqrt{8}\sqrt{4}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{8}$…(5分)
(2)证明:∵$\overrightarrow{DA}=(1,0.0),\;\overrightarrow{DF}=(0,1,\sqrt{3}),\;\overrightarrow{CE}=(0,-3,\sqrt{3})$
∴$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{DA}=0,\;\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{DF}=0$∴CE⊥DA,CE⊥DF…(7分)
∵DA,DF是平面ADF内的两条相交直线
∴直线CE⊥平面ADF…(8分)
(3)解:依题意可设P(a,2-a,0)(0<a≤1),平面PDF的法向量为$\vec n=(x,y,z)$
,∴$\left\{\begin{array}{l}y+\sqrt{3}z=0\\ ax+(2-a)y=0\end{array}\right.$,令$y=\sqrt{3}a$,则$x=\sqrt{3}(a-2),\;z=-a$
∴$\vec n=(\sqrt{3}(a-2),\;\sqrt{3}a,\;-a)$…(10分)
∵二面角P-DF-A为600,$\overrightarrow{CE}=(0,-3,\sqrt{3})$是平面ADF的法向量
∴$|cos<\overrightarrow{n},\overrightarrow{CE}>|=\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}|}{|\overrightarrow{n}\left|\right|\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{1}{2}$,解得$a=\frac{2}{3}$…(12分)
∴$P(\frac{2}{3},\frac{4}{3},0)$,∴$PE=\sqrt{{{({\frac{2}{3}-0})}^2}+{{({\frac{4}{3}+1})}^2}+{{({0-\sqrt{3}})}^2}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$…(13分)

点评 本题考查二面角的平面角的应用,直线余平米垂直的判定定理的应用,空间两点间的距离公式的应用,考查空间想象能力以及计算能力.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网