Question

【题目】某高中学校在2015年的一次体能测试中，规定所有男生必须依次参加50米跑、立定跳远和一分钟的引体向上三项测试，只有三项测试全部达标才算合格，已知男生甲的50米跑和立定跳远的测试与男生乙的50米跑测试已达标，男生甲还需要参加一分钟的引体向上测试，男生乙还需要参加立定跳远和一分钟引体向上两项测试，若甲参加一分钟引体向上测试达标的概率为p，乙参加立定跳远和一分钟引体向上的测试达标的概率均为 ，甲乙每一项测试是否达标互不影响，已知甲和乙同时合格的概率为 ．
（1）求p的值，并计算甲和乙恰有一人合格的概率；
（2）在三项测试项目中，设甲达标的测试项目项数为x，乙达标的测试项目项数为y，记ξ=x+y，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：设事件A1=“甲引体向上测试达标”，B1=“乙立定跳远测试达标”，

B2=“乙引体向上测试达标”，则P（A1）=p，P（B1）=P（B2）= ，

∵甲乙每一项测试是否达标互不影响，甲和乙同时合格的概率为 ，

∴p×（ ）2= ，解得p= ，

设事件A=“甲测试合格”，B=“乙测试合格”，

则P（A）= ，P（B）=P（B1B2）=（ ）2= ，

∴甲和乙恰有一人合格的概率：

p=P（A ）+P（ B）= + = ．

（2）解：由已知得随机变量x的取值为2，3，随机变量y的取值为1，2，3，

∴ξ的可能取值为3，4，5，6，

P（ξ=3）= = ，

P（ξ=4）= = ，

P（ξ=5）= = ，

P（ξ=6）= = ，

∴随机变量ξ的分布列为：

ξ	3	4	5	6
P

∴E（ξ）= = ．

【解析】（1）设事件A1=“甲引体向上测试达标”，B1=“乙立定跳远测试达标”，B2=“乙引体向上测试达标”，则P（A1）=p，P（B1）=P（B2）= ，由此利用题设条件求出p= ，设事件A=“甲测试合格”，B=“乙测试合格”，则P（A）= ，P（B）=P（B1B2）= ，由此能求出甲和乙恰有一人合格的概率．（2）由已知得随机变量x的取值为2，3，随机变量y的取值为1，2，3，ξ的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和E（ξ）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．