Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+ （a＞0）．
（1）求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（2）若存在三个不同的实数xi（i=1，2，3）满足f（x）=ax．
（i）证明：a∈（0，1），f（ ）＞ ；
（ii）求实数a的取值范围及x1x2x3的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的导数为f′（x）= ﹣ = ，

当a≥1时，f（x）在[1，a]递减，在[a，+∞）递增，

可得f（x）在x=a取得极小值，且为最小值lna+1；

当0＜a＜1时，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）递增，

f（1）取得最小值，且为a．

综上可得当a≥1时，f（x）的最小值为lna+1；

当0＜a＜1时，f（x）的最小值为a；

（2）（i）证明：∵f（x）﹣ax=lnx﹣ax+ ，

∴f（ ）﹣ =ln ﹣ + =2lna﹣ + ﹣ln2，

令g（a）=2lna﹣ + ﹣ln2，

∴g′（a）= ﹣ ﹣ = ，

∴a∈（0，1）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，

∴g（a）＞g（1）=2﹣ ﹣ln2＞0，

∴a∈（0，1），f（ ）＞ ；

（ii）∵f（x）﹣ax的导数为f′（x）﹣a= ﹣a（1+ ）= ，

令f′（x）=a，∴﹣ax2+x﹣a=0，

∵函数f（x）﹣ax存在不同的零点，∴△=1﹣4a2＞0，

解得﹣ ＜a＜ ，

由0＜a＜ ，令f′（x）=a，得，x4= ，x5= ，

此时，f（x）在（0，x4）上递减，（x4，x5）上递增，（x5，+∞）上递减，

∴f（x）至多有三个零点．

∵f（x）在（x4，1）递增，∴f（x4）＜f（1）=a，

又∵f（ ）＞ ，

∴x0∈（ ，x4），使得f（x0）=a，

又f（ ）=﹣f（x0）=a，f（1）=a，

∴恰有三个不同零点：x0，1， ，

∴函数f（x）存在三个不同的零点时，a的取值范围是（0， ）；

且x1x2x3的值为1．

【解析】（1）求出f（x）的导数，对a讨论，当a≥1时，当0＜a＜1时，讨论单调区间，可得最小值；（2）（i）求出f（ ）﹣ ，构造函数g（a）=2lna﹣ + ﹣ln2，利用导数求得g（a）＞g（1）=2﹣ ﹣ln2＞0，问题得以证明；（ii）求出原函数的导函数，然后讨论0＜a＜ f（x）的零点的个数，即可得到x1x2x3的值．