题目内容

4.设a>0,函数f(x)定义域为R,且f(x+a)=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f(x)-[f(x)]^{2}}$,求证:f(x)为周期函数.

分析 根据已知中函数f(x)满足f(x+a)=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f(x)-[f(x)]^{2}}$,可得f(x)∈[0,1],当f(x)∈[0,$\frac{1}{2}$)时,可得f(x+4a)=f(x);当f(x)∈[$\frac{1}{2}$,1]时,可得f(x+4a)=f(x);进而根据周期性的定义得到结论.

解答 证明:∵函数f(x)满足f(x+a)=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f(x)-[f(x)]^{2}}$,
∴f(x)-[f(x)]2≥0,即f(x)∈[0,1],
若f(x)∈[0,$\frac{1}{2}$),则
∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f(x+a)-{[f(x+a)]}^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{[\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-{[f(x)]}^{2}}]-[\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-{[f(x)]}^{2}}]^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{{[f(x)]}^{2}-f(x)+\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$-f(x)+$\frac{1}{2}$=1-f(x),
∴f(x+4a)=1-f(x+2a)=1-(1-f(x))=f(x),
故f(x)是以4a为周期的周期函数;
若f(x)∈[$\frac{1}{2}$,1],
∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f(x+a)-{[f(x+a)]}^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{[\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-{[f(x)]}^{2}}]-[\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-{[f(x)]}^{2}}]^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{{[f(x)]}^{2}-f(x)+\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$+f(x)-$\frac{1}{2}$=f(x),
故f(x)是以2a为周期的周期函数.

点评 本题考查的知识点是函数的周期性,熟练掌握函数周期性的定义,是解答的关键.

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