题目内容
4.设a>0,函数f(x)定义域为R,且f(x+a)=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f(x)-[f(x)]^{2}}$,求证:f(x)为周期函数.分析 根据已知中函数f(x)满足f(x+a)=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f(x)-[f(x)]^{2}}$,可得f(x)∈[0,1],当f(x)∈[0,$\frac{1}{2}$)时,可得f(x+4a)=f(x);当f(x)∈[$\frac{1}{2}$,1]时,可得f(x+4a)=f(x);进而根据周期性的定义得到结论.
解答 证明:∵函数f(x)满足f(x+a)=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f(x)-[f(x)]^{2}}$,
∴f(x)-[f(x)]2≥0,即f(x)∈[0,1],
若f(x)∈[0,$\frac{1}{2}$),则
∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f(x+a)-{[f(x+a)]}^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{[\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-{[f(x)]}^{2}}]-[\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-{[f(x)]}^{2}}]^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{{[f(x)]}^{2}-f(x)+\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$-f(x)+$\frac{1}{2}$=1-f(x),
∴f(x+4a)=1-f(x+2a)=1-(1-f(x))=f(x),
故f(x)是以4a为周期的周期函数;
若f(x)∈[$\frac{1}{2}$,1],
∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f(x+a)-{[f(x+a)]}^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{[\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-{[f(x)]}^{2}}]-[\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-{[f(x)]}^{2}}]^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{{[f(x)]}^{2}-f(x)+\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$+f(x)-$\frac{1}{2}$=f(x),
故f(x)是以2a为周期的周期函数.
点评 本题考查的知识点是函数的周期性,熟练掌握函数周期性的定义,是解答的关键.
(1)若f(x)在区间(-∞,1]有意义,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的定义域是(-∞,1],求实数a的取值范围.
A. | α+45° | |
B. | α-135° | |
C. | 135°-α | |
D. | 当0°≤α<135°时,为α+45°,当135°≤α<180°时,为α-135° |
A. | x+|x| | B. | 0 | C. | $\left\{\begin{array}{l}{x,x≤0}\\{0,x>0}\end{array}\right.$ | D. | $\left\{\begin{array}{l}{x,x≥0}\\{0,x<0}\end{array}\right.$ |
A. | -32 | B. | 32 | C. | 80 | D. | -80 |
A. | y=2x-5 | B. | y=(x-1)2+3,x∈(1,+∞) | C. | y=$\frac{6}{x}$,x∈(1,+∞) | D. | y=-x2+4x,x∈(-∞,0) |