Question

6．已知抛物线C的顶点是原点，焦点在y轴正半轴上，经过点P（0，4）作直线l，如果直线l与抛物线C相交于两点，设A，B，那么以AB为直径的圆经过原点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与直线6x-3y+2=0平行，l与抛物线C交于D，E两点，求以DE为直径的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意设出抛物线方程，再设出直线l的方程，联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数关系求出A，B两点横坐标和纵坐标的乘积，结合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$求得p的值，则抛物线方程可求；
（2）求出直线l的方程，和抛物线方程联立，由根与系数的关系及中点坐标公式求出DE中点的坐标，再由弦长公式求出|DE|，代入圆的标准方程得答案．

解答 解：（1）由题意可设抛物线的方程为x²=2py（p＞0）．
设直线l的方程为y=kx+4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得：x²-2kpx-8p=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2kp，x₁x₂=-8p，
y₁y₂=（kx₁+4）（kx₂+4）=k²x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16=-8k²p+8k²p+16=16．
由题意可知，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=0$．
即-8p=16=0，∴p=2．
则抛物线C的方程为x²=4y；
（2）直线l与直线6x-3y+2=0平行，且过点（0，4），
则直线l的方程为y=2x+4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-8x-16=0．
∴x_D+x_E=8，x_Dx_E=-16，
y_D+y_E=2（x_D+x_E）+8=2×8+8=24．
∴DE的中点坐标为（4，12），
r=$\frac{1}{2}|DE|$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{2}^{2}}\sqrt{{8}^{2}+4×16}=4\sqrt{10}$．
∴以DE为直径的圆的方程为（x-4）²+（y-12）²=160．

点评 本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题．